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자코비안 매트릭스 유도
두 개의 링크에 대한 상대적인 모션 관계를 정의한다.
i-1을 왼쪽 윗쪽에 기술하고, Pi-1,i에서 i-1,i 라고 하는 건 i-1의 원점과 i번째 프레임의 원점에 떨어진 거리를 의미한다.
마찬가지로 wi-1,i 또한, i-1 번째 프레임에 대해서 w는, i-1번째 프레임에서 i가 회전 로테이션하는 해당 angular velocity의 벡터를 기술한다는 의미이다.
두 개의 무빙 프레임 상에서의 상대적 모션을 정의하는 방법
P 왼쪽 위에 표기된 i-1의 원점과, i-1,i 라는 i프레임의 원점을 연결하는 벡터
R은 rotation matrix.
3번째 식과 같이, i-1번째 로테이션 매트릭스와 i-1~i번째 까지의 로테이션 매트릭스를 곱하면 0~i까지의 Rotation matrix가 된다.
첫번째 공식을 가지고, 시간에 대해서 미분을 하면 두번째 식이 된다. 이렇게 되면 angluar velocity가 추가된다.
w를 회전식이라고 생각하지 말고, 어떠한 프레임상에서의 하나의 벡터라고 생각하면 P하고 P로서 표현되는 위치관계식과 동일하게 오메가도 표현될 수 있다.
만약이 이 관계식이 i가 1번부터 시작을 한다라고 하면, 순차적으로 재귀형식이 가능한 구조를 가지고 있다.
링크의 속도 유도
w에 대해서 정의.
i-1W(i-1,i) 는 zi-1축에서 정의한 것이다. 그렇기 때문에 이 W는 결국 z축에 대해서 나타나게 된다.
z축에 대해서 나타기 때문에, 그 회전량은 결국 그 조인트가 회전하는 세타닷(i)만큼으로 이루어진다.
결국 W는 z축으로 i-1번째 프레임에서 기술된 i-1번째 축의 z축 방향으로 세타닷 i만큼으로 나타난다.
이렇게 주어졌을 때 i-1P(i-1,i)는, 결과적으로 i-1번째에서 i까지의 위치관계식이고, 수평방향의 운동이 없다.
레볼룻 조인트라 가정했기 때문에, 회전운동만 이루어진다.
그렇기에 이 회전운동은 i-1W(i-1,i) X 떨어진 거리 i-1P(i-1,i), 즉, 위치로 인해서 발생하는 관성 각속도만 추출된다.
결국, 이러한 관계를 분해해서 전개하면 0Wi를 0Wi-1과 i-1W(i-1,i)로 구할 수 있고, 해당 값을 전개해나가면 최종 공식을 얻을 수 있다.
Prismatic Joint에 대해서도 진행
prismatic 조인트이므로, 회전운동은 없어 0wi는 0wi-1과 똑같이 된다.
이동축인 Zi-1 의 속도가 결국 i-1Pdot(i-1,i)가 된다.
N 링크 매니퓰레이터
0번째 프레임의 속도는 0.
이렇게 가정을 했을 때, 모든 joint가 레볼룻이면,
계속 체인이 되면서 마지막에 결국에는 시그마 세타i * 0zi-1 오메가 n이 표현된다.
이는 p닷도 마찬가지이다.
최종적으로는 다음과 같은 수식을 가지게 된다.
만약 모든 링크가 prizmatic이라면?
Pn닷은 Z축 방향으로의 확장으로 표현이 된다.
일반적인 형태에서의 자코비안 매트릭스
앞선 공식들을 모아서, 0~i-1 번째 z축에 대한 벡터와 0부터 i-1번까지의 길이 벡터를 활용해서 속도 관계식이 주어진다.
이 Jv는 오메가와 세타 닷과의 관계이다.
이는 축간의 회전관계식에서의 오메가와 연결되어 있는 자코비안이다.
결국 최종적으로는 , v = Jvqdot이 된다.
만약 필요에 의해서 파이 닷으로서 가져가기 위해서는 Q라는 매트릭스를 활용해서 변환하는 과정이 필요하다.
자코비안을 구해서 어떻게 활용할 것인가?
만약에 조인트 영역과 작업 공간도 똑같이 6자유도라면,
자코비안 매트릭스 자체가 스퀘어 매트릭스 6*6 형태로 제공이 된다.
만약 inverse가 존재한다면, 우리는 q닷을 jv^-1 * v가 된다.
원래는 q를 구하기 위해서 복잡한 IK식을 풀어가지고 각각의 관계식을 찾아서 q를 구했다.
그러면 만약 q닷을 만들어서 적분을 하게 된다면, 원하는 각도일 때의 원하는 q값을 구해낼 수 있다.
시간 간격이 넓어질 경우?
역변환이 구해지지 않거나 오차가 커진다는 단점이 있다.
출처 : k-mooc 강좌 Robot Manipulator and Underwater Robot Application